Anhang F
Der Laplace-Operator in Kugelkoordinaten

In Abschnitt 11.1 benützten wir den Laplace-Operator Δ = ∂2∕∂x2 + ∂2∕∂y2 + ∂2∕∂z2   in Kugelkoordinaten, d.h. in der Darstellung (siehe Gl. (11.7))

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In diesem Abschnitt nehmen wir nun diese Umrechnung des Laplace-Operators von kartesischen zu Kugelkoordinaten vor. Dazu verwenden wir die folgenden Transformationsregeln

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bzw. die Umkehrung

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Wir gehen nun schrittweise vor, indem wir als erstes die erste Ableitung von ψ = ψ (r,φ,ϑ,t)  nach x  , dann die zweite Ableitung von ψ  nach x  und anschliessend die entsprechenden Ableitungen für y  und z  bestimmen.

Der Laplace-Operator Δ  in Kugelkoordinaten entspricht nun der Summe der Ausdrücke (F.13), (F.19) und (F.25). D.h. es gilt

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Um die Formelschlacht ein bisschen übersichtlicher zu gestalten, verzichten wir auf das direkte Einsetzen und vereinfachen in der Summe (F.13) + (F.19) + (F.25) die Ausdrücke, welche nur die zweite Ableitung nach r  , ϑ  oder φ  enthalten, Ausdrücke, welche nur die erste Ableitung nach r  , ϑ  oder φ  enthalten oder Ausdrücke, welche nur eine gemischte Ableitung nach r  und ϑ  , r  und φ  oder ϑ  und φ  enthalten, separat:

Mit den Vereinfachungen i) - ix) ergibt sich für die Summe (F.13) + (F.19) + (F.25), d.h. für den Laplace-Operator Δ   (F.26) in Kugelkoordinaten das folgende Resultat

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Dieser Ausdruck stimmt mit (F.1) überein, womit die Richtigkeit von (F.1) gezeigt ist.