In Abschnitt 11.1 benützten wir den Laplace-Operator in Kugelkoordinaten, d.h. in der Darstellung (siehe Gl. (11.7))
In diesem Abschnitt nehmen wir nun diese Umrechnung des Laplace-Operators von kartesischen zu Kugelkoordinaten vor. Dazu verwenden wir die folgenden Transformationsregeln
bzw. die Umkehrung
Wir gehen nun schrittweise vor, indem wir als erstes die erste Ableitung von nach , dann die zweite Ableitung von nach und anschliessend die entsprechenden Ableitungen für und bestimmen.
Mit
erhalten wir
Für die zweite Ableitung von nach ergibt sich mit (F.12)
Mit
erhalten wir
Für die zweite Ableitung von nach ergibt sich mit (F.18)
Mit
erhalten wir
Für die zweite Ableitung von nach ergibt sich mit (F.24)
Der Laplace-Operator in Kugelkoordinaten entspricht nun der Summe der Ausdrücke (F.13), (F.19) und (F.25). D.h. es gilt
Um die Formelschlacht ein bisschen übersichtlicher zu gestalten, verzichten wir auf das direkte Einsetzen und vereinfachen in der Summe (F.13) + (F.19) + (F.25) die Ausdrücke, welche nur die zweite Ableitung nach , oder enthalten, Ausdrücke, welche nur die erste Ableitung nach , oder enthalten oder Ausdrücke, welche nur eine gemischte Ableitung nach und , und oder und enthalten, separat:
Mit den Vereinfachungen i) - ix) ergibt sich für die Summe (F.13) + (F.19) + (F.25), d.h. für den Laplace-Operator (F.26) in Kugelkoordinaten das folgende Resultat
Dieser Ausdruck stimmt mit (F.1) überein, womit die Richtigkeit von (F.1) gezeigt ist.