Kapitel 11
Das Wasserstoffatom

Das Verständnis des einfachsten Atoms, d.h. des Wasserstoffatoms, ist eine der Grundlagen zum Verständnis aller Atome. Die theoretische Behandlung des Wasserstoffatoms ist zudem eine der schönsten Illustrationen zur Anwendung der Quantenmechanik. Insbesondere können viele Begriffe, die dabei erarbeitet werden, auf andere Systeme übertragen werden.

Wie wir in Kapitel 8 gesehen haben, liefert das (semiklassische) Bohrsche Atommodell bereits eine gute Beschreibung der grundlegenden Eigenschaften des Spektrums des Wasserstoffatoms. In diesem Modell werden die Energieniveaus durch die Hauptquantenzahl n  charakterisiert und die Frequenzen der Spektrallinien sind durch die Rydberg-Formel gegeben. Das Modell stösst jedoch bei der Beschreibung von Atomen mit mehreren Elektronen an seine Grenzen (siehe Abschnitt 8.6). Auch die Beschreibung des Wasserstoffspektrums ist nur begrenzt möglich, was bei einer detaillierten Betrachtung des Spektrums klar wird. Es treten viele nach dem Bohrschen Atommodell nicht erwartete Spektrallinien auf.

In diesem Kapitel kommen wir nun zu einer rein quantenmechanischen Behandlung des Wasserstoffatoms ausgehend von der Schrödinger-Gleichung. Wir werden sehen, dass im Vergleich zum Bohrschen Atommodell zusätzliche Quantenzahlen notwendig sind, um die Energieniveaus und die Spektrallinien zu beschreiben. Wie in Abschnitt 8.5 angedeutet, wird dabei der Bahndrehimpuls des Elektrons eine Rolle spielen. Ebenfalls einen Einfluss auf das Spektrum wird der Spin1 des Elektrons und des Protons haben. Zusätzlich können von aussen angelegte elektrische und magnetische Felder, sowie die sogenannten Vakuumfluktuationen2 die Energieniveaus und Spektrallinien beeinflussen.

Wir beginnen mit der Auflistung der Annahmen, die wir für unser Modell treffen werden und dem Aufstellen der Schrödinger-Gleichung. Anschliessend folgt das Lösen der Schrödinger-Gleichung und somit die Bestimmung der Wellenfunktionen und der Energieniveaus des Wasserstoffatoms.

11.1 Die Schrödinger-Gleichung

Das Wasserstoffatom besteht aus einem Kern (Proton) mit der Masse M  und der Ladung + e  und aus einem Elektron der Masse m  und der Ladung - e  (siehe Abb. 11.1).


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Abb. 11.1: Skizze eines Wasserstoffatoms: Ein Elektron umkreist den Kern (Proton). Dabei haben wir die Kugelkoordinaten (r  , ϑ  , φ  ) eingeführt.


Für unser Modell zur Beschreibung des Wasserstoffatoms treffen wir die folgenden Annahmen:

  1. Das Elektron wird als nicht-relativistisches Teilchen betrachtet.
  2. Der Spin des Elektrons und das damit verbundene magnetische Moment wird vernachlässigt.
  3. Der Spin des Protons und das damit verbundene magnetische Moment wird vernachlässigt.
  4. Vakuumfluktuationen werden nicht berücksichtigt.
  5. Die Wechselwirkung zwischen Elektron und Proton ist durch die Coulomb-Wechselwirkung gegeben, d.h. die potentielle Energie entspricht dem Coulomb-Potential VC (r)  und nimmt daher die folgende Form an

    pict

    Es ist jedoch zu bemerken, dass dieser Ausdruck nur dann für alle Abstän-de r  gilt, wenn Kern und Elektron als Punktladungen betrachtet werden können. Wenn aber zum Beispiel der Kern einen endlichen Radius r0   besitzt, dann ist die 1∕r  -Abhängigkeit als Näherung zu betrachten, die nur dann angewendet werden darf, wenn die Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Elektrons innerhalb r0   vernachlässigbar ist. Beim Wasserstoffatom ist die 1∕r  -Näherung für alle Zustände des Elektrons gerechtfertigt.

  6. Die Masse M  des Protons ist viel grösser als die Masse m  des Elektrons. Aus diesem Grund vernachlässigen wir die Bewegung des Protons, d.h. das Proton ist in Ruhe. Soll die Kernbewegung berücksichtigt werden, so kann analog zu Abschnitt 8.4.2 die Elektronenmasse m  durch die reduzierte Masse μ =  M m ∕(m  + M )  und zusätzlich die Koordinaten des Elektrons x  , y  und z  durch Relativkoordinaten xr = x- X  , yr = y - Y  und z  = z - Z
 r  ersetzt werden. Dabei bezeichnen X  , Y  und Z  die Koordinaten des Protons und das Atom wird im Schwerpunktssystem betrachtet.

Da das Problem kugelsymmetrisch ist, führen wir Kugelkoordinaten ein (siehe Abb. 11.1). Es gilt

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Die potentielle Energie VC(r)  hängt nicht explizit von der Zeit ab. Daher ist die Gesamtenergie E  eine Konstante und es existieren stationäre Zustände der Form

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wobei u(r,ϑ,φ)  die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung

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erfüllt. Der Laplace-Operator Δ  nimmt dabei in Kugelkoordinaten die folgende Form an (siehe Anhang F)

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Einsetzen von (11.1) und (11.7) in (11.6) ergibt für die zeitunabhängige Schröd-inger-Gleichung in Kugelkoordinaten

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Bevor wir im nächsten Abschnitt die Schrödinger-Gleichung lösen, führen wir den Bahndrehimpulsoperator  ˆ
⃗L  ein. Nach (9.68) lautet der Bahndrehimpulsoperator ˆ
⃗L  in Kugelkoordinaten

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Für das Quadrat des Bahndrehimpulsoperators ˆ⃗L2   ergibt sich damit (Ausführung der Rechnung siehe Anhang G)

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Damit können wir die Schrödinger-Gleichung (11.8) in der folgenden Form schreiben

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Für die Bahndrehimpulskomponenten ˆLx   , ˆLy   und ˆLz   , für das Quadrat des Bahndrehimpulsoperators ˆ⃗L2   , sowie den Hamilton-Operator ˆH = - ℏ2-Δ + V
      2m      C   des Wasserstoffatoms gelten dabei die folgenden Kommutatorrelationen (siehe Abschnitt 9.3.3 und Anhang H)

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Das bedeutet für das Wasserstoffatom, dass Funktionen existieren, die gleichzeitig Eigenfunktionen der Operatoren Hˆ  , ˆ⃗L2   und Lˆ
  z   sind. D.h. die entsprechenden Observablen E  , ⃗2
L   und Lz   sind gleichzeitig scharf bestimmt (siehe Abschnitt 9.5.4).

11.2 Lösung der Schrödinger-Gleichung durch Separation der Variablen

Als erstes multiplizieren wir die Schrödinger-Gleichung (11.8) mit (            )
 - 2m2 r2 sin2ϑ
   ℏ und erhalten

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Wir wählen für die Funktion u(r,ϑ,φ)  den folgenden Produktansatz

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Es sei bemerkt, dass ein solcher Ansatz allgemein für alle kugelsymmetrischen Potentiale V (r)  geeignet ist. Einsetzen des Ansatzes in (11.17) und Division durch u(r,ϑ,φ )  liefert

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Somit hängen die einzelnen Terme der Schrödinger-Gleichung nur von einer der Funktionen R (r)  , Θ (ϑ )  oder Φ (φ )  oder der Koordinate r  ab. D.h. wir konnten durch unseren Produktansatz (11.18) die Schrödinger-Gleichung separieren. Wir ordnen nun die Gleichung (11.19) um, so dass der Term mit Φ(φ)  auf der rechten Seite steht und sich alle anderen Terme auf der linken Seite befinden. Es ergibt sich

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Diese Gleichung kann nur dann gelten, wenn die linke und rechte Seite gleichzeitig identisch derselben Konstante sind. Wir wählen die Konstante m2
  l  . Auf die physikalische Bedeutung der Konstanten ml  werden wir im Folgenden eingehen. Somit lautet die Differentialgleichung zur Bestimmung von Φ (φ)

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Die normierte Lösung ergibt sich zu

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wobei wir den Index ml  eingeführt haben. Der Vergleich mit Abschnitt 9.5.2 zeigt, dass Φml(φ )  und daher auch u(r,ϑ,φ ) = R (r)Θ (ϑ)Φml(φ )  Eigenfunktionen der z-Komponente des Bahndrehimpulsoperators Lˆz = - iℏ∂∂φ  sind. Die Eigenwertgleichung lautet

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wobei aufgrund der Eindeutigkeit der Wellenfunktion ml ∈ ℤ . Demzufolge charakterisiert die Konstante ml  die Eigenwerte von Lˆz   und bestimmt damit die Werte, die der Erwartungswert der Observablen Lz   annehmen kann. ml  wird magnetische Quantenzahl genannt.

Als nächstes betrachten wir die linke Seite der Gleichung (11.20). Umordnen und Division durch     2
(sin  ϑ)  liefert

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Wie zuvor kann diese Gleichung nur dann gelten, wenn die linke und rechte Seite gleichzeitig identisch derselben Konstanten sind. Wir wählen die Konstante l(l + 1)  . Auf die physikalische Bedeutung dieser neuen Konstanten l  werden wir in Abschnitt 11.2.2 eingehen. Somit ergeben sich für die Funktionen R (r)  und Θ(ϑ)  die folgenden Differentialgleichungen

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Aus dieser Darstellung wird insbesondere klar, dass nur die Radialkomponente R (r)  von u(r,ϑ,φ )  explizit vom Potential abhängt. Wir bestimmen nun die Lösungen der Differentialgleichungen für die Funktionen Θ (ϑ)  und R(r)  einzeln.

11.2.1 Lösung für die Polarkomponente

Zur Bestimmung der Lösung für die Polarkomponente Θ (ϑ )  der Wellenfunktion u(r,ϑ,φ )  differenzieren wir die Differentialgleichung (11.27) aus und erhalten

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Wir betrachten nun Θ  als Funktion der neuen Variablen x = cosϑ  . Die entsprechende Differentialgleichung für Θ (x)  ergibt sich dann zu

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Lösungen dieser Differentialgleichung sind die zugeordneten Legendre-Polynome   ml
P l (x)  (siehe Anhang I.3)

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wobei für die Quantenzahlen l  und ml  gilt3

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und Pl(x)  die Legendre-Polynome sind (siehe Anhang I.2), welche sich als Lösung von (11.29) für ml = 0  ergeben. Es gilt

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Die zugeordnete Legendre-Polynome P ml(x)
 l  sind reell und erfüllen die folgende Orthogonalitätsbedingung (siehe Gl. (I.33))

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Somit lautet die normierte Lösung für die Polarkomponente Θl,ml(ϑ)  der Wellenfunktion u(r,ϑ, φ)  (siehe Tab. 11.1)

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wobei wir die Indizes l  und ml  eingeführt haben und die Legendre-Polynome P (cosϑ)
  l  gegeben sind durch

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l  m
  l  P (cosϑ )
  l  Pml (cos ϑ)
 l  Θ    (ϑ)
  l,ml





     
0  0  1  1  √1-P0(cosϑ )
  2 0
     
1  0  cosϑ  cosϑ  √ -
√23P01(cosϑ )
 1  sinϑ  √3-P1 (cos ϑ)
 2  1
     
2  0  1     2
2(3cos ϑ - 1)  1     2
2(3cos ϑ - 1)  √5- 0
√2-P2(cosϑ )
 1  3cosϑ sin ϑ   √-
-√5-P1(cosϑ )
2  3 2
 2      2
3sin ϑ   √5  2
4√3-P2 (cosϑ )
     
3  0  1(5cos3ϑ - 3cosϑ)
2  1(5cos3ϑ - 3 cos ϑ)
2  √ -
√-7P0(cosϑ )
  2 3
 1  3          2
2 sinϑ (5 cos ϑ - 1)   √7  1
2√6-P3 (cosϑ )
 2  15cosϑ sin2 ϑ   √ -
-√-7P 2(cosϑ)
4  15  3
 3       3
15sin ϑ    √7   3
12√10P 3 (cosϑ)





     

Tab. 11.1: Legendre-Polynome Pl(cosϑ)  , zugeordnete Legendre-Polynome P ml(cosϑ)
  l  und Lösungen für die Polarkomponente Θl,ml(ϑ)  für die Quantenzahlen l  = 0, 1, 2, 3.

11.2.2 Gesamtlösung des winkelabhängigen Anteils der Wellenfunktion

Mit (11.22) und (11.36) haben wir die Lösungen für Φ   (φ )
 ml  und Θ   (ϑ)
 l,ml  gefunden. Die Gesamtlösung des winkelabhängigen Anteils der Wellenfunktion u(r,ϑ,φ )  entspricht dem Produkt dieser Funktionen. Es ergeben sich damit die sogenannten Kugelfunktionen Yl,ml(ϑ,φ)  (siehe Tab. 11.2, Abb. 11.2, Abb. 11.3 und I.6)

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l  ml  Yl,m (ϑ, φ)
    l



   
0  0  √1--
2 π
   
1  0  √-
2√3π cos ϑ
 1   √-
√-3-sinϑeiφ
2 2π
   
2  0  √-
4√5π(3cos2ϑ - 1)
 1  √--
√15-cosϑ sin ϑeiφ
2 2π
 2  √--
4√125π sin2ϑe2iφ
   
3  0   -
√√7-(5cos3ϑ - 3cos ϑ)
4 π
 1  √--
8√21π(5cos2ϑ - 1)eiφ
 2   ---
√√105cosϑ sin ϑe2iφ
4 2π
 3  √--
8√35π sin3ϑe3iφ



   

Tab. 11.2: Kugelfunktionen Yl,ml(ϑ,φ)  für die Quantenzahlen l  = 0, 1, 2, 3.


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Abb. 11.2: Polardiagramme: Für jeden Wert des Winkels ϑ  (φ  wird 0 gesetzt) wird das entsprechende Betragsquadrat der Kugelfunktionen           2
|Yl,ml(ϑ,0)| für die Quantenzahlen (a) l = 0  , ml =  0  , (b) l = 1  , ml = 0  , (c) l = 1  , ml =  1  , (d) l = 2  , ml = 0  , (e) l = 2  , ml =  1  und (f) l = 2  , ml =  2  aufgetragen.



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Abb. 11.3: 3D-Plots: Für jede Werte der Winkel ϑ  und φ  wird das entsprechende Betragsquadrat der Kugelfunktionen           2
|Yl,ml(ϑ,φ)|   für die Quantenzahlen (a) l = 0  , ml =  0  , (b) l = 1  , ml =  0  , (c) l = 1  , ml = 1  , (d) l = 2  , ml = 0  , (e) l = 2  , ml = 1  und (f) l = 2  , ml = 2  aufgetragen.


Es sei an dieser Stelle bemerkt, dass die Funktionen Θl,ml(ϑ )  und Φml(φ)  und damit auch die Kugelfunktionen Yl,ml(ϑ,φ )  für beliebige kugelsymmetrische Potentiale V (r)  gelten, da das Potential nur explizit in der Differentialgleichung für die Bestimmung der radialen Funktion R (r)  erscheint.

Zur Ermittlung der physikalischen Bedeutung der Quantenzahl l  gehen wir zurück zur Formulierung (11.11) der Schrödinger-Gleichung und multiplizieren sie mit        2 2
(- 2mr ℏ )

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Einsetzen des Ansatzes u(r,ϑ,φ) = R(r)Θ    (ϑ)Φ  (φ) = R (r)Y   (ϑ,φ )
                 l,ml    ml           l,ml  und Division durch u(r,ϑ,φ )  ergibt

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wobei der Vergleich mit (11.25) die linke Seite als l(l + 1)  identifiziert. Damit ergibt sich das folgende Resultat

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D.h. die Kugelfunktionen Yl,ml(ϑ,φ )  und damit die Wellenfunktionen u(r,ϑ,φ )  sind Eigenfunktionen des Quadrats des Bahndrehimpulsoperators ˆ⃗L2   zum Eigenwert ℏ2l(l + 1)  . Demzufolge charakterisiert die Quantenzahl l  die Eigenwerte von ˆ⃗2
L   und bestimmt damit die Werte, die der Erwartungswert der Observablen  2
⃗L   annehmen kann. l  wird Bahndrehimpulsquantenzahl genannt. Zusammenfassend können wir für den Bahndrehimpuls eines Teilchen im kugelsymmetrischen Potential feststellen:

Richtungsquantisierung des Bahndrehimpulses

Nach den vorangegangenen Ausführungen sind durch die Bahndrehimpulsquantenzahl l  und die magnetische Quantenzahl ml  die Erwartungswerte der Observablen ⃗L2   und Lz   bestimmt. Befindet sich das System in einem Eigenzustand, dann gilt

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Die erste Gleichung bestimmt den Betrag des Bahndrehimpulsvektors |⃗L| . Es gilt

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Abb. 11.4, in der die möglichen Bahndrehimpulsvektoren für die Bahndrehimpulsquantenzahlen l = 1  und l = 2  gezeichnet sind, bestätigt die Bedingung |ml| ≤ l  . Insbesondere kann der Vektor ⃗L  aufgrund der Bedingungen (11.47) und (11.46) nie entlang der z-Achse zeigen. Dies ist im Einklang damit, dass nur eine einzige Komponente, die z-Komponente4, des Bahndrehimpulses scharf sein kann. Entlang der beiden dazu orthogonalen Raumrichtungen, x und y, ist der Bahndrehimpuls unscharf. In anderen Worten ausgedrückt, bedeutet das, dass wenn |⃗L| und Lz   festgelegt sind, dann sind Lx  und L
  y  unbestimmbar.


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Abb. 11.4: Richtungsquantisierung des Bahndrehimpulses: Für die Bahndrehimpulsquantenzahlen (a) l = 1  und (b) l = 2  sind jeweils die möglichen Bahndrehimpulsvektoren im Bezug zur z-Achse eingezeichnet.


Wir illustrieren diesen Sachverhalt graphisch (siehe Abb. 11.5): Der Vektor ⃗
L  kommt auf einer Kugel zu liegen, deren Radius durch die Bahndrehimpulsquantenzahl l  festgelegt ist (Radius =  ∘ -------
ℏ  l(l + 1)  ). Die magnetische Quantenzahl ml  bestimmt die z-Komponente des Bahndrehimpulses zu Lz = ℏml  und beschränkt dadurch den Aufenthaltsort des Vektors ⃗L  auf eine Kegelfläche innerhalb dieser Kugel. Jedoch weiss man nicht, wo innerhalb der Kegelfläche der Vektor ⃗L  zu liegen kommt.


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Abb. 11.5: Richtungsquantisierung des Bahndrehimpulses illustriert für die Bahndrehimpulsquantenzahl l = 2  . Durch die magnetische Quantenzahl ml  wird eine der 5 möglichen Kegelflächen (ml =  0, 1, 2  ) festgelegt, in der der Bahndrehimpulsvektor ⃗L  zu liegen kommt.


11.2.3 Lösung für die radiale Funktion

Zur Bestimmung der radialen Funktion R (r)  gehen wir von der Differentialgleichung (11.26) aus, d.h. der Gleichung

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In dieser Gleichung tritt der Energiewert E  , sowie der Elektron-Kern-Abstand r  auf. Deshalb werden die Lösungen Auskunft über die Energie des Atoms und dessen Grösse geben. Wir gehen dabei von gebundenen Zuständen, d.h. E <  0  , aus.

Wir beginnen mit der Bestimmung der Funktion R (r)  indem wir in der Gleichung (11.48) R (r) = P (r)∕r  setzen. Damit ergibt sich für die Funktion P (r)  die Differentialgleichung

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Als nächstes betrachten wir die beiden Grenzfälle r → 0  und r →  ∞ :

Wir setzen unsere Rechnung fort indem wir die Variable r  in (11.49) durch r = x∕k  ersetzen. Gleichzeitig führen wir die Konstante         2
x0 = - e k∕(4πϵ0E)  ein. Es ergibt sich

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Wir wählen nun für P(x)  unter Berücksichtigung des Verhaltens für r → 0  und r → ∞ den folgenden Ansatz

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Einsetzen in (11.54) ergibt

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Für Q (x)  wählen wir einen Potenzreihenansatz

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Damit erhalten wir aus (11.56)

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Damit die Summe verschwindet, müssen die Koeffizienten jeder Potenz verschwinden. Daher erhalten wir die folgende Bedingung

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Damit ergibt sich zwischen den Koeffizienten die folgende Rekursionsrelation

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Für hohe Potenzen, d.h. für s →  ∞ ergibt sich somit das folgende Verhalten

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Wir vergleichen dieses Verhalten der Potenzreihe Q (x)  mit der Reihe

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In diesem Fall ergibt sich für nachfolgende Koeffizienten das folgende Grenzverhalten

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D.h. die Reihe Q (x)  würde wie e2x = e2kr  divergieren für r →  ∞ , wenn sie nicht abbricht. Demzufolge würde P (x)  wie  x    kr
e  = e  divergieren für r → ∞ und R (r)  wäre nicht normierbar und daher physikalisch nicht sinnvoll. Demzufolge muss die Reihe abbrechen. Nennen wir die höchste in der Reihe auftretende Potenz N  , so ergibt sich die Abbruchbedingung AN+1  = AN+2  = ...= 0  und damit

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Die Zahl N  wird radiale Quantenzahl genannt. Mit         e2k
x0 = - 4πϵ0E-  und     ∘ --------
k =   2m (- E)∕ℏ  ergeben sich damit die folgenden diskreten Energiewerte

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Mit der Rydberg-Energie ER = me4 ∕(32π2ϵ20ℏ2) = 13.6  eV und der Hauptquantenzahl n = N  + l + 1  ergibt sich daraus für die Energiewerte En  des Wasserstoffatoms (siehe Tab. 11.3)

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Dieses Ergebnis ist identisch zu dem des Bohrschen Atommodells. Damit hängen die Energiewerte E
 n  nur von der Hauptquantenzahl n  ab. Bei festem n  kann die Bahndrehimpulsquantenzahl l  die Werte 0, 1, 2, ..., n- 1  annehmen. Da zu jedem l  für die magnetische Quantenzahl ml  2l + 1  verschiedene Werte möglich sind, ergibt sich damit der folgende Grad der Entartung des Energiewerts En

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d.h. es existieren jeweils  2
n   verschiedene Eigenfunktionen des Wasserstoffatoms, charakterisiert durch die Quantenzahlen n  , l  und ml  , mit derselben Energie En  .







n  l  ml  En  Entartung





     
1  0  (s)  0  E1   1-fach
     
2  0  (s)  0  E2   4-fach
1  (p)  - 1,0,1
     
3  0  (s)  0  E3   9-fach
1  (p)  - 1,0,1
2  (d)  - 2,- 1,0,1,2
     
4  0  (s)  0  E4   16-fach
1  (p)  - 1,0,1
2  (d)  - 2,- 1,0,1,2
3  (f)  - 3,- 2,- 1,0,1,2,3
     
n  0,1,2,...,n - 1  - l,...,- 1,0,1,...,l  En  n2   -fach





     

Tab. 11.3: Übersicht über die Energiewerte En  und den entsprechenden Quantenzahlen n  , l  und m
 l  des Wasserstoffatoms. Dabei haben wir die Werte, die die Bahndrehimpulsquantenzahl l  annehmen kann, wie in der Literatur üblich, mit Buchstaben bezeichnet. Die Herkunft dieser Bezeichnungen ist historisch bedingt. Sie ergaben sich aus der Spektroskopie: s  (l = 0  ) steht für sharp, p  (l = 1  ) für principal, d  (l = 2  ) für diffuse und f  (l = 3  ) für fundamental. Anschliessend werden die Bezeichnungen alphabetisch fortgesetzt: g  für l = 5  , h  für l = 6  , usw..

Die zu den Energiewerten En  zugehörigen Funktionen Q (x)  und damit die Funktionen P (x)  und daraus schlussendlich die radiale Funktion R (r)  könnten mit Hilfe der Rekursionsrelation (11.60) bestimmt werden. Wir wählen hier jedoch einen anderen Weg: Wir schreiben die Gleichung (11.56) in eine Form, welche mit einer aus der Mathematik bekannten Differentialgleichung übereinstimmt und übernehmen die entsprechenden Lösungen. Die bekannte Gleichung ergibt sich aus (11.56) durch die Substitution y = 2x  , der Definition x0 = 2n  und der Multiplikation mit 1∕2  zu

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Diese Gleichung entspricht mit s = 2l + 1  und r = n+  l  der Differentialgleichung der zugeordneten Laguerre-Polynomen  s
Lr(y)  (siehe Anhang I.5)

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D.h. es gilt

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wobei A  eine Normierungskonstante darstellt. Wir bestimmen nun ausgehend von (11.70) schrittweise die normierte radiale Funktion R (r)  :

  1. Mit y = 2x  ergibt sich aus (11.70) für Q (x)

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  2. Einsetzen in (11.55) liefert für P(x)

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  3. Mit x = kr  erhalten wir für P(r)  den Ausdruck

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  4. Somit ergibt sich für die radiale Funktion R(r)

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  5. Der letzte Schritt beinhaltet die Bestimmung der Konstanten A  und damit die Normierung der radialen Wellenfunktion R (r)  . Wir setzten dazu die Wahrscheinlichkeit, dass das Wasserstoffatom und damit die Bahn des Elektrons einen Radius zwischen 0  und ∞ besitzt gleich 1

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    Auf diese radiale Aufenthaltswahrscheinlichkeit werden wir anschliessend bei der Auflistung der Eigenschaften der radialen Funktionen genauer eingehen. Die zugeordneten Laguerre-Polynome   s
L r(y )  erfüllen die Normierungsbedingung (siehe Gl. (I.60))

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    womit folgt

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    Daraus ergibt sich für die Konstante A

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    Einsetzen in (11.74) liefert für die radiale Funktion Rn,l(r)

    pict

    wobei wir die Quantenzahlen n  und l  als Indizes eingeführt haben. Für k  erhalten wir mit (11.66)

    pict

    mit

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    dem Bohrschen Radius. Einsetzen in (11.79) liefert als Schlussresultat für die radiale Funktion Rn,l(r)  (siehe Tab. 11.4 und Abb. 11.6)

    pict





n  l  Rn,l(r)



   
1  0             (  )3∕2
R1,0(r) = 2 a10    e- r∕a0
   
2  0             1 ( 1 )3∕2(    r ) - r∕2a
R2,0(r) = 2√2  a0     2 - a0 e     0
1            -1-( 1-)3∕2-r -r∕2a0
R2,1(r) = 2√6  a0    a0e
   
3  0            -2√--( 1-)3∕2 (     18r-  2r2) - r∕3a0
R3,0(r) = 81 3  a0     27-  a0 +  a20  e
1             √- (   )     (      )
R   (r) = 2√2-  1- 3∕2 r- 6 - -r  e-r∕3a0
  3,1      81 3  a0    a0     a0
2             √ - (  )   (   )
R3,2(r) = -2√-2- -1  3∕2  r- 2e- r∕3a0
          81 15 a0      a0



   

Tab. 11.4: Übersicht über die radialen Funktionen Rn,l(r)  für die Quantenzahlen n  = 1, 2, 3.


PIC

Abb. 11.6: Die radialen Funktionen Rn,l(r)  für die Quantenzahlen (a) n = 1  , l = 0  , (b) n = 2  , l = 0  (schwarz) und n = 2  , l = 1  (grau), (c) n = 3  , l = 0  (schwarz) und n = 3  , l = 1  (grau) und n = 3  , l = 2  (schwarz gestrichelt), sowie die entsprechenden radialen Aufenthaltswahrscheinlichkeiten        2 2
|Rn,l(r)| r dr  für die Quantenzahlen (d) n = 1  , l = 0  , (e) n = 2  , l = 0  (schwarz) und n = 2  , l = 1  (grau), (f) n = 3  , l = 0  (schwarz) und n = 3  , l = 1  (grau) und n = 3  , l = 2  (schwarz gestrichelt).


Eigenschaften der radialen Funktionen

Die radialen Funktionen Rn,l(r)  haben die folgenden Eigenschaften:

11.2.4 Porträts einiger Eigenfunktionen des Wasserstoffatoms

Wir gehen nun kurz auf die Eigenschaften der s-, p- und d-Funktionen ein (siehe Tab. 11.5).






n  l  ml  un,l,m (r,ϑ,φ)
     l




    
1  0  0     (  )3∕2
√1π- a10    e-r∕a0
    
2  0  0   1  ( 1 )3∕2(    r ) - r∕2a
4√2π  a0     2 - a0 e     0
1  0  -1--( 1-)3∕2 r -r∕2a0
4√2π  a0    a0e      cosϑ
 1  -1√--( 1-)3∕2-r -r∕2a0    iφ
8 π  a0    a0e      sin ϑe
    
3  0  0       (   )   (             )
-√1--  1- 3∕2  27-  18r-+ 2r2 e- r∕3a0
81 3π  a0          a0    a20
1  0   √- (   )     (      )
-√2-  1- 3∕2 r  6- -r  e-r∕3a0 cos ϑ
81 π  a0    a0     a0
 1      (   )3∕2  (      )
-1√--  1a-    ra-  6- ar  e-r∕3a0 sinϑe iφ
81 π   0     0      0
2  0       (   )3∕2 (  )2       (          )
81√16-π  1a0     ar0  e- r∕3a0 3 cos2 ϑ- 1
 1      (   )3∕2(  )2
811√-π  1a0     ar0   e-r∕3a0 cos ϑsinϑeiφ
 2    1  ( 1 )3∕2 ( r)2 - r∕3a    2  2iφ
162√-π  a0     a0  e     0 sin ϑe




    

Tab. 11.5: Die Eigenfunktionen un,l,ml(r,ϑ,φ )  des Wasserstoffatoms für die Hauptquantenzahlen n  = 1, 2, 3.

11.3 Zusammenfassung - Gesamtlösung