Anhang B
Heisenbergsche Unschärferelation

Die allgemeine Heisenbergsche Unschärferelation für zwei beliebige hermitesche Operatoren Aˆ  und Bˆ  und einen beliebigen Zustand ψ (x,t)  ist gegeben durch

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Wir leiten nun diese allgemeine Formulierung der Heisenbergschen Unschär-ferelation ausgehend von der sogenannten Schwarzschen Ungleichung her und zeigen anschliessend, dass die Unschärferelation (9.37) für Ort und Impuls als Spezialfall aus (B.1) folgt.

B.1 Schwarzsche Ungleichung

Für zwei beliebige Wellenfunktionen φ(x,t)  und ψ(x,t)  gilt

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Beweis:

B.2 Herleitung der Heisenbergschen Unschärferelation

Wir zeigen nun unter Benützung der Schwarzschen Ungleichung (B.2) die Richtigkeit von (B.1).

Es seien  ˆ
A  und  ˆ
B  zwei beliebige hermitesche Operatoren und ψ(x,t)  ein beliebiger Zustand. Nach Definition 9.4 ist das Unschärfeprodukt (ΔA  )ψ (ΔB  )ψ  gegeben durch

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Wir führen die beiden hermiteschen Operatoren

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ein, womit das Unschärfeprodukt (ΔA )ψ(ΔB  )ψ  geschrieben werden kann als

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Gleichzeitig gilt aufgrund der Schwarzschen Ungleichung (B.2)

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Diese Ungleichung können wir auch schreiben in der Form

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Unter Ausnützung der Hermitezität der Operatoren Xˆ1   und Xˆ2   ergibt sich

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Der Vergleich mit (B.11) zeigt, dass die linke Seite dieser Ungleichung dem Quadrat des Unschärfeprodukts (ΔA )ψ(ΔB )ψ  entspricht. Daher ergibt sich

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Wir führen nun den Antikommutator { ˆX1,Xˆ2 } = ˆX1Xˆ2 + Xˆ2 Xˆ1   ein und schreiben damit das Produkt Xˆ1 ˆX2   in der Form

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Einsetzen in die rechte Seite der Ungleichung (B.15) ergibt

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Einsetzen in (B.15) liefert

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Der Erwartungswert des Antikommutators ist reell und derjenige des Kommutators rein imaginär. Aus diesem Grund können wir schreiben

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Wir setzen nun als nächstes die Definitionen (B.9) und (B.10) in den Kommutator  ˆ   ˆ
[X1,X2 ]  ein und erhalten

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Einsetzen in (B.19) ergibt nun in Übereinstimmung mit (B.1) das folgende Resultat

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B.3 Beispiel

Wie zu Beginn erwähnt, zeigen wir zum Abschluss, dass die Formulierung (9.37) als Spezialfall aus (B.1) folgt. Es sei also  ˆ
A = xˆ  und ˆ
B = ˆpx   . Einsetzen in (B.1) ergibt mit (9.85)

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D.h. es folgt in Übereinstimmung mit (9.37)

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