Die allgemeine Heisenbergsche Unschärferelation für zwei beliebige hermitesche Operatoren und und einen beliebigen Zustand ist gegeben durch
Wir leiten nun diese allgemeine Formulierung der Heisenbergschen Unschär-ferelation ausgehend von der sogenannten Schwarzschen Ungleichung her und zeigen anschliessend, dass die Unschärferelation (9.37) für Ort und Impuls als Spezialfall aus (B.1) folgt.
Für zwei beliebige Wellenfunktionen und gilt
Beweis:
wobei folgende Eigenschaft besitzt
Damit ergibt sich
Daraus folgt für die Konstante der folgende Ausdruck
Mit (B.3), (B.4) und (B.6) erhalten wir schlussendlich
Wir zeigen nun unter Benützung der Schwarzschen Ungleichung (B.2) die Richtigkeit von (B.1).
Es seien und zwei beliebige hermitesche Operatoren und ein beliebiger Zustand. Nach Definition 9.4 ist das Unschärfeprodukt gegeben durch
Wir führen die beiden hermiteschen Operatoren
ein, womit das Unschärfeprodukt geschrieben werden kann als
Gleichzeitig gilt aufgrund der Schwarzschen Ungleichung (B.2)
Diese Ungleichung können wir auch schreiben in der Form
Unter Ausnützung der Hermitezität der Operatoren und ergibt sich
Der Vergleich mit (B.11) zeigt, dass die linke Seite dieser Ungleichung dem Quadrat des Unschärfeprodukts entspricht. Daher ergibt sich
Wir führen nun den Antikommutator ein und schreiben damit das Produkt in der Form
Einsetzen in die rechte Seite der Ungleichung (B.15) ergibt
Einsetzen in (B.15) liefert
Der Erwartungswert des Antikommutators ist reell und derjenige des Kommutators rein imaginär. Aus diesem Grund können wir schreiben
Wir setzen nun als nächstes die Definitionen (B.9) und (B.10) in den Kommutator ein und erhalten
Einsetzen in (B.19) ergibt nun in Übereinstimmung mit (B.1) das folgende Resultat
Wie zu Beginn erwähnt, zeigen wir zum Abschluss, dass die Formulierung (9.37) als Spezialfall aus (B.1) folgt. Es sei also und . Einsetzen in (B.1) ergibt mit (9.85)
D.h. es folgt in Übereinstimmung mit (9.37)